Fx options binomial tree

Um método de árvore binomial modificado para opções de retorno de moeda Cite este artigo como: Dai, M. Acta Math Sinica (2000) 16: 445. doi: 10.1007s101140000068 O método da árvore binomial é a abordagem numérica mais popular para as opções de preços. No entanto, para opções de lookback de moeda, este método não é consistente com os modelos contínuos correspondentes, o que leva a uma velocidade lenta de convergência. Com base na abordagem PDE, desenvolvemos um esquema numérico consistente chamado método da árvore binomial modificada. Possui uma ordem de precisão e sua eficiência é demonstrada por experiências numéricas. As provas de convergência também são produzidas em termos de análise numérica e a noção de solução de viscosidade. Método da árvore binomial modificada Opções de lookback de moeda Convergência 1991 MR Classificação de assunto 90A09 35K85 35R35 Com suporte da Fundação Nacional de Ciências da China (N. º 19871062) Em finanças, o modelo de opções binomiais fornece um método numérico generalizável para avaliação de opções. O modelo difere de outros modelos de preços de opções, na medida em que utiliza um modelo ldquodiscrete-timerdquo do preço variável ao longo do tempo de instrumentos financeiros, o modelo é capaz de lidar com uma variedade de condições para as quais outros modelos não podem ser aplicados. Essencialmente, a avaliação de opções aqui é através da aplicação da hipótese de neutralidade de risco ao longo da vida da opção, à medida que o preço do instrumento subjacente evolui. O modelo Binomial foi proposto pela primeira vez por Cox, Ross e Rubinstein (1979). Metodologia O modelo de precificação binomial usa uma estrutura de tempo discreto para rastrear a evolução da variável subjacente das opções através de uma rede binária (árvore), para um determinado número de etapas de tempo entre a data de avaliação e a expiração da opção. Cada nó na rede, representa um possível preço do subjacente, em um determinado momento. Essa evolução de preços é a base para a avaliação da opção. O processo de avaliação é iterativo, começando em cada nó final e, em seguida, trabalhando para trás através da árvore para o primeiro nó (data de avaliação), onde o resultado calculado é o valor da opção. A avaliação de opções usando este método é, conforme descrito, um processo de três passos: 1) geração de ar de preços 2) cálculo do valor da opção em cada nó final 3) cálculo progressivo do valor da opção em cada nó anterior o valor no primeiro nó é o valor Da opção. A metodologia é melhor ilustrada através do exemplo. 1) A árvore do preço binomial A árvore dos preços é produzida trabalhando para a frente, desde a data de avaliação até o vencimento. Em cada etapa, presume-se que o instrumento subjacente se mova para cima ou para baixo por um fator específico - u ou d - por etapa da árvore. (O modelo Binomial permite apenas dois estados.) Se S é o preço atual, então, no próximo período, o preço será S up ou S down, onde S up S x u e S down S x d. Os fatores ascendentes e descendentes são calculados usando a volatilidade subjacente, sigma e anos por tempo, t: u exp (sigma radic t) d exp (- sigma radic t) 1 u O acima é o Cox original, Ross, amp Rubinstein (CRR), existem outras técnicas para gerar a rede, como a árvore de probabilidades iguais. 2) Valor da opção em cada nó final Em cada nó final da árvore - ou seja, na expiração da opção - o valor da opção é simplesmente seu valor intrínseco ou exercício. Para uma chamada: valor Max (S ndash Preço de exercício, 0) Para um put: value Max (preço de exercício ndash S, 0) 3) Valor da opção em nós anteriores Em cada nó anterior, o valor da opção é calculado usando o risco Pressuposto de neutralidade. Sob este pressuposto, o preço justo de um título derivado de hoje é igual ao valor esperado descontado de sua recompensa futura. Consulte Avaliação neutra de risco. O valor esperado aqui é calculado usando os valores de opção dos dois nodos posteriores (Opção para cima e Opção para baixo) ponderados por suas respectivas probabilidades - probabilidade p de um movimento ascendente no subjacente e probabilidade (1-p) de um movimento para baixo. O valor esperado é descontado em r. A taxa livre de risco correspondente à vida útil da opção. Este resultado, o Valor Binomial, é, portanto, o preço justo da derivada em um determinado momento (isto é, em cada nó), dada a evolução no preço do subjacente a esse ponto. O valor Binomial é encontrado para cada nó, começando no penúltimo passo do tempo e trabalhando de volta para o primeiro nó da árvore, a data de avaliação, onde o resultado calculado é o valor da opção. Para uma opção americana, uma vez que a opção pode ser realizada ou exercida antes da expiração, o valor em cada nó é: Max (Valor Binomial, Valor de Exercício). O valor Binomial é calculado da seguinte forma. Binomial Value p vezes Opção para cima (1 p) vezes Opção vezes para baixo exp (- r vezes t) p exp ((rq) vezes t) - d divide u - dq é o rendimento de dividendos do subjacente correspondente à vida do opção. Note-se que a abordagem de avaliação alternativa, o preço livre de arbitragem (delta-hedging), produz resultados idênticos, ver preços Rational. Relacionamento com Black-Scholes Suposições similares sustentam o modelo binomial e o modelo Black-Scholes, e o modelo binomial fornece uma aproximação de tempo discreta ao processo contínuo subjacente ao modelo Black-Scholes. Na verdade, para as opções européias, o valor do modelo binomial converge no valor da fórmula Black-Scholes à medida que o número de etapas de tempo aumenta. Baixando o modelo binomial para valorizar uma opção No mundo financeiro, os modelos de opções Black-Scholes e binômio De avaliação são dois dos conceitos mais importantes na teoria financeira moderna. Ambos são usados ​​para avaliar uma opção. E cada um tem suas próprias vantagens e desvantagens. Algumas das vantagens básicas do uso do modelo binomial são: capacidade de transparência de exibição de vários períodos para incorporar probabilidades. Neste artigo, explore as vantagens de usar o modelo binomial em vez dos Black-Scholes, forneça alguns passos básicos para desenvolver o modelo e Explique como é usado. Exibição de período múltiplo O modelo binomial permite uma visualização multi-período do preço do subjacente, bem como o preço da opção. Em contraste com o modelo Black-Scholes, que fornece um resultado numérico baseado nas entradas, o modelo binomial permite o cálculo do recurso e a opção para vários períodos, juntamente com a gama de resultados possíveis para cada período (ver abaixo). A vantagem desta visão multi-período é que o usuário pode visualizar a mudança no preço do ativo de um período para outro e avaliar a opção com base na tomada de decisões em diferentes momentos. Para uma opção americana. Que pode ser exercido em qualquer momento antes do prazo de validade. O modelo binomial pode fornecer informações sobre quando exercitar a opção pode parecer atraente e quando deve ser mantido por períodos mais longos. Ao olhar para a árvore binomial de valores, pode-se determinar antecipadamente quando uma decisão sobre o exercício pode ocorrer. Se a opção tiver um valor positivo, há a possibilidade de exercício, enquanto que se ele tiver um valor menor que zero, ele deve ser ocupado por períodos mais longos. Transparência Muito relacionado com a revisão multi-período é a capacidade do modelo binomial para fornecer transparência no valor subjacente do ativo e a opção à medida que avança no tempo. O modelo Black-Scholes tem cinco entradas: quando esses pontos de dados são inseridos em um modelo Black-Scholes, o modelo calcula um valor para a opção, mas os impactos desses fatores não são revelados periodicamente. Com o modelo binomial, pode-se ver a mudança no preço do recurso subjacente de período para período e a alteração correspondente causada no preço da opção. Incorporando Probabilidades O método básico de cálculo do modelo de opção binomial é usar a mesma probabilidade de cada período de sucesso e falha até a expiração da opção. No entanto, pode-se incorporar diferentes probabilidades para cada período com base em novas informações obtidas com o passar do tempo. Por exemplo, pode haver 5050 chances de que o preço do recurso subjacente possa aumentar ou diminuir em 30 em um período. Para o segundo período, no entanto, a probabilidade de o preço do ativo subjacente aumentar pode crescer para 7030. Digamos que estamos avaliando um poço de petróleo, não temos certeza do valor desse poço de petróleo, mas há uma chance de 5050 de que o O preço aumentará. Se os preços do petróleo subirem no Período 1, tornando o petróleo bem mais valioso, e os fundamentos do mercado agora apontam para aumentos contínuos nos preços do petróleo, a probabilidade de uma maior apreciação no preço agora pode ser de 70. O modelo binomial permite essa flexibilidade o Black O modelo Scholes não faz. Desenvolvendo o modelo O modelo binômio mais simples terá dois retornos esperados. Cujas probabilidades somam até 100. No nosso exemplo, existem dois possíveis resultados para o poço de petróleo em cada ponto do tempo. Uma versão mais complexa pode ter três ou mais resultados diferentes, cada um dos quais tem uma probabilidade de ocorrência. Para calcular os retornos por período a partir do tempo zero (agora), devemos fazer uma determinação do valor do ativo subjacente um período a partir de agora. Neste exemplo, assumiremos o seguinte: Preço do ativo subjacente (P). Preço de exercício da opção de chamada 500 (K). 600 Taxa sem risco para o período: 1 Mudança de preço em cada período: 30 para cima ou para baixo O preço do ativo subjacente é de 500 e, no período 1, pode valer 650 ou 350. Seria o equivalente a 30 Aumentar ou diminuir em um período. Uma vez que o preço de exercício das opções de compra que realizamos é de 600, se o ativo subjacente for inferior a 600, o valor da opção de compra seria zero. Por outro lado, se o activo subjacente exceder o preço de exercício de 600, o valor da opção de compra seria a diferença entre o preço do activo subjacente e o preço de exercício. A fórmula para este cálculo é máxima (P-K), 0. Suponha que haja 50 chances de subir e uma chance de ter baixado. Usando os valores do Período 1 como exemplo, isso calcula como máximo (650-600, 0) 50max (350-600,0) 505050050 25. Para obter o valor atual da opção de chamada, precisamos descontar o 25 no Período 1 De volta ao Período 0, que é 25 (11) 24.75. Agora você pode ver que, se as probabilidades forem alteradas, o valor esperado do ativo subjacente também mudará. Se a probabilidade deve ser alterada, ela também pode ser alterada para cada período subsequente e não necessariamente tem que permanecer a mesma durante todo o período. O modelo binomial pode ser ampliado facilmente para múltiplos períodos. Embora o modelo de Black-Scholes possa calcular o resultado de uma data de validade prolongada. O modelo binomial amplia os pontos de decisão para vários períodos. Usos para o modelo Binomial Além de ser usado para calcular o valor de uma opção, o modelo binomial também pode ser usado para projetos ou investimentos com um alto grau de incerteza, orçamentos de capital e decisões de alocação de recursos, bem como projetos com vários períodos Ou uma opção incorporada para continuar ou abandonar em determinados momentos. Um exemplo simples é um projeto que implica a perfuração de petróleo. A incerteza desse tipo de projeto surge devido à falta de transparência de saber se a terra que está sendo perfurada tem qualquer óleo, a quantidade de óleo que pode ser perfurada, se o óleo for encontrado e o preço pelo qual o óleo pode ser vendido uma vez Extraído. O modelo de opção binomial pode ajudar a tomar decisões em cada ponto do projeto de perfuração de petróleo. Por exemplo, suponha que decidamos perfurar, mas o poço de petróleo só será rentável se encontrarmos óleo suficiente e o preço do petróleo exceder uma certa quantidade. Levará um período completo para determinar a quantidade de óleo que podemos extrair, bem como o preço do petróleo nesse momento. Após o primeiro período (um ano, por exemplo), podemos decidir, com base nesses dois pontos de dados, se continuar a perfurar ou abandonar o projeto. Essas decisões podem ser feitas continuamente até chegar um ponto onde não há valor para perfuração, momento em que o poço será abandonado. A linha inferior O modelo binomial permite visões de vários períodos do preço do subjacente e o preço da opção para vários períodos, bem como a gama de resultados possíveis para cada período, oferecendo uma visão mais detalhada. Enquanto o modelo Black-Scholes e o modelo binomial podem ser usados ​​para valorizar opções, o modelo binomial simplesmente possui uma ampla gama de aplicações, é mais intuitivo e mais fácil de usar.